三角形角平分线的交点是三等分点

三角形是初中数学学习中的重要内容，而其中的角平分线更是一个重要的概念。在任意三角形中，三条角平分线相交于一个点，并且这个点将每条角平分线分成两段，这些线段的比例相等。这个点被称为三角形的内心，而这些线段的比例被称为内心角平分线定理。

除了内心，三角形的三条边上还有很多重要的点。其中，三角形角平分线的交点是一个非常有趣的点，它被称为三等分点。为什么这个点被称为三等分点呢？因为它将每条角平分线分成的两个线段的长度相等，即这个点到三角形的三个顶点的距离相等。这个点的重要性在于，它是三角形内部到三条边距离相等的点之一。

三角形角平分线的交点是三等分点这个定理可以通过几何证明来得到。我们可以首先假设三角形ABC中，角A的平分线与BC相交于D。根据角平分线定理，AD/BD=AC/BC，因此有AD/AC=BD/BC。同样的，我们可以假设角B和角C的平分线与AC和AB相交于E和F，然后得到BE/BA=CF/CA和CE/CA=AF/AB。我们可以将这三个比例式联立起来，得到：

AD/AC × BE/BA × CF/CA = BD/BC × CE/CA × AF/AB

由于三个角平分线交于同一点，因此有AD/AC=BE/BA=CF/CA，因此上式可以进一步简化，得到：

(AD/AC)^3 = (BD/BC) × (CE/CA) × (AF/AB)

由于(AD/AC)^2=AD/BD，因此上式也可以写成：

AD/BD = CE/CA × AF/AB

这就证明了三角形角平分线的交点是三等分点这个定理。